Gli inganni delle parole

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La matematica è troppo noiosa per trattarla seriamente

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I matematici affermano che un “teorema” è falso se fallisce anche in un solo caso.

Ecco per voi due falsi “teoremi”:

La matematica non è mai ambigua        (I)

La matematica non è una opinione        (II)

Sconcerta che la matematica abbia i suoi angoli oscuri: proposizioni indecidibili se siano vere o false, nell’ambito in cui sono state concepite, ma decidibili in un meta ambito superiore. Ciò può portare ad una proposizione indecidibile in ambito A, ma vera in B e falsa in C.

Prima conclusione eretica: Il “teorema” (I) è da buttare.

La matematica si occupa di un mondo inventato dai matematici. Nulla vieta di creare mondi diversi dove la somma degli angoli del triangolo è uguale ad un angolo piatto, ma anche di più, oppure di meno. Geometria di Euclide, di Lobacesvkij, di Riemann: tot capita tot sententiae.

Seconda conclusione eretica: Il “teorema” (II) è da buttare.

Abbiamo ottimi motivi per rifiutare la matematica e pure le scienze naturali: la chimica puzza ed inquina, la fisica fabbrica bombe atomiche, la matematica è asservita o inutile.

Quando abbiamo mal di pancia, pretendiamo una RM, che è una Risonanza Magnetica Nucleare castrata della N di nucleare, che ci spaventa tanto. Tolta la Parola, tolta la Paura.

La matematica è schietta e sincera  (III)

Non è con esempi in cui funziona che si dimostra il teorema! Evitiamo la fine ridicola del tacchino induttivista. Gli davano la pappa buona ogni mattina, quindi si sentiva molto amato. La vigilia del Giorno del Ringraziamento attese con fiducia la pappa. Invece gli tirarono il collo.

Usiamo il metodo matematico: assumiamo che la (III) sia vera e troviamo un controesempio.

Ne abbiamo già trovati due. Vincere è troppo facile!

1)  Che guaio questo debito!

Delusi dai matematici ci affidiamo ai ragionieri: si sa che sono infallibili. L’interesse composto è sempre più oneroso di un interesse semplice di pari importo e durata. Ad esempio, in 20 anni, un interesse del 5% fa lievitare il debito da 2 a 2.65 volte. Un bancario il conto ve lo fa al computer. Non chiedetegli la formula, forse non ve la saprà dire, ma certo si giustificherà con A) il computer è lì apposta, B) il computer è veloce e non sbaglia mai, C) perchè dovremmo perdere tempo e rischiare di sbagliare? D) noi siamo moderni ed efficienti!

mat-a

Fig. 1  Crescita del debito verso tempo (anni)

       Debito iniziale 100. Interesse 5% semplice (nero) e 5% composto (rosso)

Un matematico godrà a snocciolarvi le formulette per calcolare il debito D:

D = C (1 + k t )                         (1)  a interesse costante

D = C (1 + k )^t = C exp(h t)              (2)  a interesse composto   dove:

C = capitale preso in prestito

k = interesse annuale percentuale / 100      (3)

h = log(1 + k)                          (4)

t = tempo trascorso (anni)

La crescita ad interesse composto è una crescita geometrica.

Il debito, in rapporto al credito, crescerà secondo la seguente successione:

D/C = 1;  q;  q^2;  q^3;  …  q^n;  …    (5)  con ragione:

   q = 1 + k                            (6)

La successione (5) diverge. Ha termini sempre crescenti per n = 0, 1, 2, … perché q > 1.

Al ragioniere interessa sapere quanto è il debito dopo un certo numero di anni, mentre la somma di n termini non gli interessa affatto. Il matematico invece si interessa di tutto, specialmente se non serve a niente, quindi conosce la somma Sn dei primi n termini:

Sn = [ q^(n+1) – 1 ] / (q – 1)     per q ≠ 1    (7a)

Sn = q n                     per q = 1    (7b)

 

 

2)  Uno scherzo cinese

Si narra che un imperatore cinese, ammirato dalla scienza matematica del suo massimo esperto, gli abbia chiesto che regalo desiderasse. Quello mostrò una scacchiera e rispose: un chicco di riso sul primo quadretto, due sul secondo, quattro sul terzo e così via fino all’ultimo.

Si tratta di una progressione geometrica con ragione q = 2:

Sn = 1 + 2 + 4 + 8 + … + q^63 ≈ 18.447 10^18 = 18.447  miliardi di miliardi di chicchi

Mille chicchi di riso pesano circa 34 gr; il totale pesa oltre 627 miliardi di tonnellate.

La produzione mondiale di riso è mille volte minore.

Da allora i matematici sono ritenuti infidi e perfidi.

Lascio ai volonterosi scoprire perché non esiste il premio Nobel per la matematica.

  • Un figlio fa il furbo

Uno dei miei figli mancò di imparare le formule della somma delle serie aritmetica e geometrica. Per la serie aritmetica se la cavò con quello che gli avevo raccontato di Gauss ragazzetto:

Sn = (Primo + Ultimo) + (Secondo + Penultimo) + … =  (A1 + An) * n / 2      (8)

Per la serie geometrica cercò invano di arrampicarsi sui vetri.

Sn = 1 + q + q^2 + … + q^n = [ q^(n+1)  – 1 ] / (q – 1)    (9a)

La formula si dimostra facilmente, ma occorre almeno ricordarla!

Basta eseguire la divisione (9a) con la regola di Ruffini, o eseguire la moltiplicazione:

( 1 + q + q^2 + … + q^n ) * (q – 1)  =  q^(n+1) – 1      (9b)

4)  Somma della serie geometrica

I termini delle successioni geometriche precedenti sono divergenti perché q > 1.

Per q = 1 i termini sono costanti, ma la loro somma (7b) diverge ancora con n.

Per q < 1 la somma di n termini è sempre data dalla (7a). Ad esempio per q =1/2 è:

Sn = 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2^n = 2 [ 1 – 1 / 2^(n+1) ] = 2 – 1 / 2^n

Si vede subito che, per n sempre più grande, il secondo termine svanisce e Sn tende S = 2.

Così si passa dalla somma Sn della successione alla somma S della serie con infiniti termini:

S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … 1 / 2^n + … = 2

5)  Un buon bicchiere di vino

Per coloro a cui dà fastidio l’infinito attuale (gli infiniti termini) e possono concepire soltanto una approssimazione che migliora sempre ma non termina mai, prendiamo un bicchiere di vino seguito da una fila di bicchieri vuoti. Facciamo a metà tra primo e secondo bicchiere. Poi a metà tra il secondo bicchiere ed il terzo. E così via. Avremo una successione geometrica fino al termine 1/2^n seguita da un termine identico.

1  + 0  + 0  + 0  + 0  + … = 1

1/2 + 1/2 + 0  + 0  + 0  + … = 1

1/2 + 1/4 + 1/4 + 0  + 0  + … = 1

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 0  + … = 1

Siamo partiti con un bicchiere di vino ed in totale avremo sempre esattamente un bicchiere di vino. Neppure pensando ad un “quanto” finale indivisibile cambieremo il totale. Nel mondo matematico non esiste un numero minimo indivisibile, atomico, quindi avremo ancora esattamente somma 1:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …  = 1    (10)

La serie infinita (10) vale 1, anche se il computo con infiniti termini non finirebbe mai. Il tempo necessario per il calcolo non ha niente a che vedere col valore del risultato. Possiamo contare le vacche, o le loro zampe e poi dividere per quattro. Col millepiedi ci va peggio. Nel continuo siamo in imbarazzo filosofico. Ne usciamo bevendoci un sano bicchiere di buon vino. Non fate i salutisti.

La vera salute del corpo e della mente è stare lontani dalla matematica. Cantor docet.

6)  Il tutto ed una sua parte

Galileo fu in imbarazzo scoprendo che i quadrati perfetti, pur essendo solo una parte degli interi, sono tanti quanti gli interi. Possiamo infatti numerarli associando a ciascuno un intero successivo:

1,  2,   3,    4,   5,  …

1,  4,   9,   16,  25,  …

Altro imbarazzo per Galileo fu constatare che due segmenti di lunghezza diversa contengono un ugual numero di punti. Ad ogni punto P di AB corrisponde un punto Q di CD e viceversa. Eppure

AB è una parte di CD. Per approfondire si veda: Georg Cantor. La formazione della teoria degli insiemi (Scritti 1872-1899). A cura di G. Rigamonti. Note di Ernst Zermelo. Mimesis-Volti n.76.

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Come la mettiamo con La parte è minore del tutto, primo assioma di Euclide?

  • Filosofi astemi

Con buon senso, rallegrato da un buon bicchiere di vino, si arriva a conclusioni sane, mentre sobri filosofi si perdono nelle nebbie. Achille non raggiunge mai la tartaruga e il moto non esiste. Ma sì, ci va bene tutto! Il mondo dei filosofi è un mondo creato da loro, a loro immagine e somiglianza, tanto quanto il mondo matematico è creato dai matematici per i matematici. Semplicemente sono mondi diversi. Il primo a sistemare le questioni con gli infiniti fu Cantor, un matematico. Vero che ne uscì pazzo, ma non più pazzo del filosofo Nietzsche, o del fisico Boltzmann. Signori, meditate!

6)  I pitagorici  

Mettiamo insieme matematica e filosofia pitagorica e vediamo che sconquasso accade quando due mondi inconciliabili si scontrano. Per Pitagora il mondo era governato da rapporti razionali, cioè rapporti tra numeri interi. In un mondo così fatto due segmenti qualsiasi A, B, dovevano essere commisurabili nel senso che M volte A avrebbe dovuto combaciare con N volte B, ad esempio:

mat-c

Ma i pitagorici avevano scoperto che la diagonale D del quadrato non è commisurabile col lato L:

D / L ≈ 14/10 o meglio 141 /100 o meglio ancora 1414/1000 …

Sempre meglio, ma mai esattamente! Dove stava lo scandalo? Per prima cosa stava nella natura religiosa del loro pensiero: non crollava un assioma, ma un dogma. Inoltre crollava anche la loro ipotesi sulla natura atomica del mondo. Un segmento fatto di M punti con dimensione ε finita è lungo M ε. Similmente un altro segmento fatto di N punti sarà lungo N ε. Il rapporto tra le lunghezze di due segmenti qualsiasi è quindi M / N, un numero necessariamente razionale.

L’ipotenusa di un triangolo rettangolo di lati 3 e 4 è lunga 5: qui andiamo bene, ma per caso.

I rapporti geometrici sempre razionali. Falso. Basta un controesempio:  D / L = √2

Esistono cose che per i pitagorici non potrebbero esistere. E nemmeno per noi, se accettiamo una natura granulare delle cose, e confondiamo gli enti geometrici, di nostra invenzione, con enti fisici. I primi sono un parto della nostra mente e vivono in quanto creati da noi; gli altri, anche se fatti materialmente da noi, vivono in un mondo fisico che non è creato da noi. I due mondi si scontrano? Sì. E non solo in mano ai pitagorici. Solo che noi siamo più smaliziati da una parte (vedi il lavoro di Cantor) e più rozzi dall’altra: ci accontentiamo di modelli utili a far funzionare le cose. Il che aiuta a capire. Non posso capire ciò che non so costruire disse Feynmann.

7)  La parola “razionale”

Nel linguaggio comune la parola razionale è associata a pensiero ragionevole. Ragionare è sempre un mettere qualche cosa o fatto in relazione con qualche altra cosa o fatto. La radice latina “ratio” significa rapporto. Usiamo la parola “rapporto” anche per indicare la relazione tra due persone.

In matematica rapporto ha un solo significato: A / B = R significa che R volte B è uguale ad A.

Numero razionale significa numero esprimibile come rapporto di due interi. Si può dire molto male della scuola, ma bisogna ammettere che le cose le racconta, sia pure troppo slegate tra loro:

  • La divisione che “non finisce” mai (elementari): 1 / 9 = 0,1111 …
  • La frazione generatrice (medie): 0,1111 … = 1 / 9
  • Le serie geometriche (superiori): 1/10 + 1/100 + 1/1000 + .. = (1/10) / ( 1 – 1/10) = 1 / 9

Molti adulti regrediscono per pigrizia o per naturale decadenza fisica. Si può capire.

Non è accettabile, invece, che un “logico matematico” insegni 2 / 3 = “numero irrazionale” come in “Il matematico impertinente”. Dopo altre lepidezze il Nostro ci invitò a studiare “almeno” su Wikipedia. Grati del consiglio, ci sdebitiamo suggerendogli di farsi correggere le bozze da qualche volonteroso ragazzotto, evitando situazioni imbarazzanti da cui soldi, fama, sodali, non possono proteggere ad oltranza. E qualche presa di distanza comincia a vedersi.

  • Gli sviluppi in serie di potenze

Le serie geometriche sono serie di potenze con coefficienti tutti uguali. La somma è ovviamente funzione della ragione, x che deve essere minore di 1 per avere convergenza:

f(x) = C + C x + C x^2 + C x^3 + … = C / (1 – x)      (11)

Con coefficienti diversi ed opportuni si può “espandere” in serie di potenze qualsiasi funzione f(x) analitica (cioè continua con tutte le sue derivate).

Ogni sviluppo avrà un suo raggio r di convergenza, cioè varrà per |x| < r.

f(x) = Co + C1 x + C2 x^2 + C3 x^3 + … + Cn x^n    (12)       dove:

Cn = fn(0) / n!

fn(x) = derivata ennesima di f(x) verso x

n! = 1 * 2 * 3 * … * n

Ad esempio l’esponenziale converge per qualsiasi valore di x:

exp(1 + x) = 1 + x + x^2 / 2! + x^3 / 3! + …

exp(1 –  x) = 1 – x + x^2 / 2! – x^3 / 3! + …

Per valori x abbastanza piccoli si osserva che i termini di grado superiore ad N sono trascurabili e quindi la funzione f(x) sarà approssimabile con un polinomio di grado N.

9)  La curva logistica     

La funzione (13) è una semplice parabola che si annulla per P = 0 e per P = K.

f(P) =  R P ( 1 – P / K) = R P – (R/K) P^2     (13)

E’ facile verificare che il massimo è f( K/2 ) = R K / 4.

La funzione f(P) è usata per descrivere una velocità di crescita, P’ = dP/dt, di una “popolazione” P(t) che varia nel tempo subendo l’influenza (contrastante) della sua stessa presenza, P.

Con “popolazione” si deve intendere un insieme di oggetti o soggetti simili tra loro quali persone, animali, insetti, batteri, virus, ma anche oggetti richiesti come telefoni cellulari, automobili, …

La funzione P(t) indica semplicemente il numero di tali oggetti o soggetti presenti al tempo t.

La (13) è l’espressione più semplice possibile adatta a descrivere una crescita nel tempo.

Corrisponde ad uno sviluppo in serie troncato per N = 2 di una funzione analitica f(P) qualsiasi.

Nel punto (17) daremo qualche particolare in più sui parametri.

Ci scusiamo con i superstiziosi. Il fato ha voluto che la numerazione fosse proprio questa: 13 e 17.

 

  • Due ottimi libri divulgativi

L’ing. Roberto Vacca ha pubblicato due ottimi libri divulgativi. “Anche tu matematico” e “Anche tu fisico”. Nel primo libro spiega perchè le crescite esponenziali non esistono in natura. Sconsiglio di usare questo argomento per criticare Malthus, che cita espressamente la saturazione, evitando la trattazione matematica. In questa omissione fu un benefattore dell’umanità. Nel secondo libro R. Vacca elenca criticamente le nostre risorse energetiche, rinnovabili e non rinnovabili. Ovviamente l’Autore insegna ed illustra magistralmente anche tante altre cose.

  • Integrazione di funzioni

Credo che l’integrazione più difficile in assoluto sia tra la popolazione italiana e la matematica.

L’integrazione matematica ha una definizione ostica ed è una operazione difficile da farsi secondo la definizione. Perciò si usano sistematicamente facili regole di calcolo. Il risultato ovvio è che nei casi fortunati si ottiene il risultato giusto di una operazione di cui si è capito ben poco. Eppure tutti possono capire che il flusso di carburante è una cosa, mentre la quantità di carburante bruciato è una cosa diversa. Il bello della matematica è aver inventato regole generali, concetti applicabili in campi assai diversi. Il brutto dei matematici è la poca voglia di farsi capire. Magari nascondendosi in tanti sotto l’unico falso nome di Bourbaki. Forse sarebbe bene ripartire dal calcolo numerico:

Volume nuovo = Volume vecchio + Flusso * Tempo intercorso     (14)

12) Integrazione di equazioni differenziali

Data la velocità, moltiplicandola per il tempo abbiamo lo spazio percorso. Sommando gli spazi successivi abbiamo lo spazio totale percorso, anche se le velocità sono state via via diverse. La stessa cosa potremmo fare sapendo esplicitamente la velocità, P’ = dP/dt, con cui una popolazione cresce. L’integrale nel tempo di P’(t) ci darebbe esattamente la popolazione P(t) presente in un istante t qualsiasi. Ma noi non abbiamo P’(t) in forma esplicita. Abbiamo P’ = f(P) in cui compare l’incognita P. Occorre venire a patti con l’Analisi matematica ed imparare a calcolare P(t) a partire da P’ = f(P). E’ una invenzione antica, fatta indipendentemente nel 1600 da Newton e da Leibniz. Che litigarono di brutto sulla paternità. Nel caso della logistica si trova:

P(t) = K / [ 1 + ( K/Po – 1 ) exp(-R t) ]     (15)      dove:

Po = P(0) = popolazione iniziale

  • Che guaio la realtà!

Non si trova negli scritti di Hegel, ma gli è stata attribuita e forse la pronunciò:

«Wenn die Tatsachen nicht mit der Theorie übereinstimmen, um so schlimmer für die Tatsachen».

Se i fatti non concordano con la teoria, tanto peggio per i fatti.

La realtà è testimone manipolabile. Spiegazioni del passato se ne possono fare a piacere.

Ma, quando si mette alla prova la capacità predittiva di una teoria, allora: hic Rhodus, hic salta. Occorre essere onesti. Per esempio la legge [ F = m a ] ha i suoi limiti, ma anche immensi pregi.

Date due variabili qualsiasi (F; m), (F; a), (m, a), possiamo calcolare la terza grandezza, a, m, F, e possiamo verificare se il valore calcolato concorda con una misura indipendente.

Sarebbe demenziale o disonesto pretendere che [ F = m a ] predica l’accelerazione nota soltanto la massa ma non la forza. Così sarebbe scorretto negare capacità predittiva alla logistica per nostra  ignoranza dei suoi parametri. Scorretto è pure pretendere l’andamento (15) fino a tempo indefinito quando i parametri variano nel frattempo. In questo caso il risultato è complesso:

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Fig. 2  Crescita della popolazione in Svezia.

In fig. 2 si vedono alternanze di varie crescite logistiche con passaggio da sviluppo esponenziale (p.e. dal 1980 al 1995) a successiva saturazione (p.e. dal 1995 al 2000).

Il passato è interpretabile, il futuro è largamente impredicibile perché, anche se le leggi sono note,  i parametri sono a priori ignoti: variano nel tempo e dipendono talvolta da arbìtri umani.

14)  Che guaio gli integralisti!

Gli integralisti sono assai pericolosi: non sono pochi anacoreti nel deserto, o matematici appartati in conventicole, tutta gente che lascia in pace il prossimo. Gli integralisti sono militanti H24 con capacità di intervento su qualsiasi argomento ed in qualsiasi condizione meteo. L’integralista è prontissimo a vedere le peggiori intenzioni nel suo avversario. Di interlocutori non se ne parla: o sodali o nemici, tertium non datur. Limitiamoci all’integralismo culturale, quello dei colti, tanto bravi a denigrare la cultura altrui, che annichiliscono pure la propria, dimenticandosi di nutrirla, convinti di sapere tutto da sempre.

 

15)  Modesti esercizi di integralismo applicato.

L’infinito attuale non esiste. Non per nulla Cantor morì pazzo!

La popolazione può crescere indefinitamente. Tanto sarebbe un infinito potenziale!

Malthus suggeriva matrimoni meno precoci per ridurre la natalità. Criminale!

Malthus si opponeva al sesso giovanile senza obbligo di allevare la prole. Parruccone!

In crisi di denatalità, suggerire matrimoni meno tardivi è bene? No, se viene da fonte sospetta!

Avremmo meno Dawn. Eugenetica! Mengele vade retro!

Il modello di Malthus non ha mai funzionato. Spiegazione? Non serve!

Citare l’origine della VW (Volks Wagen = macchina del popolo) equivale ad essere nazisti.

Citare Clausewitz significa essere guerrafondai. Forse studiandolo lo saremmo di meno…

  • Modi duali

Si possono avere idee opposte a pari merito di stupidità, come voler dirimere ogni questione

  • sempre e soltanto a parole
  • sempre e soltanto “scientificamente”

Al becchino, tuttavia, non interessano i nomi dei morti, ma solo quante fosse deve scavare.

Prima di disprezzare il cinismo del becchino si dovrebbe fare il suo lavoro nell’anno sabbatico.

  • Non solo parole

Quanta gente c’è al mondo? Mai né troppa né troppo poca. Quella giusta per stare come sta.

Pare un discorso da Pangloss. E’ invece una constatazione ineludibile come osservare che i bilanci stesi dai ragionieri terminano sempre con due cifre identiche, che ci sia un disavanzo a sinistra od un avanzo a destra. Non è forse per questo che si chiama bilancio?

Con poche parole riassumiamo la dinamica in atto, il modo di studiarla, i suoi limiti, i nostri limiti.

La velocità di crescita P’ è funzione della voglia di far figli e di quanti P la hanno.

C’è una intrinseca controreazione di P su P’.

Abbiamo una velocità di crescita P’ = f(P) prima crescente e poi decrescente verso P.

Che f(P) sia la nota logistica o chissà che altro, non altera il filo del discorso.

La logistica è la più semplice espansione in serie di potenze adatta al caso: P’ = A + B P + C P^2.

Per sua natura A = 0, chi non c’è non si riproduce, e C < 0, reazione negativa di P su P’.

La legge f(P) ha parametri che cambiano nel tempo: cambia la tecnologia, cambiano i costumi.

In ogni istante, in un modo o nell’altro, avremo sempre equilibio dinamico:  dP – f(P) dt = 0.

Possiamo cambiare qualche parametro della legge f(P), ma non la legge fisica, quale che sia.

Conosciamo f(P) solo grossolanamente, ma nulla autorizza ad ignorarne l’esistenza.

Sognare una f(P) mai vista empiricamente è un azzardo irragionevole.

I modelli messi in mano a gente pericolosa sono pericolosi. Lapalisse conferma.

E’ pericoloso credere che le cose comunque si aggiustino sempre in modo incruento.

L’equilibrio dinamico c’è sempre, in ogni istante:  P(t + dt) – P(t) – f(P) dt = 0.

Tutto si riaggiusta, istante per istante. Ma a quale costo?

I poeti poetano, i filosofi filosofano, ma il trattore lo deve inventare il vile meccanico.

Speriamo che arrivi sempre in tempo. Poi apostrofiamolo: nel mezzo vile meccanico!

 

  • Conclusione

I matematici sono antipatici ma sostanzialmente innocui: bambocci che giocano con gli integrali. Forniscono ai fisici formule per la teoria del tutto e rimasugli analitici agli economisti. Questi sì che sono pericolosi. I modelli sono pericolosi? Sì, come un sasso in mano ad un cretino sul cavalcavia. No, se devo progettare qualche cosa di nuovo. Che altro mai potrei usare?

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About Author

Luigi Francesco Mojoli è nato nel 1941 a Milano e si è laureato in Ingegneria Elettronica al Politecnico di Milano. Ha pubblicato articoli e libri su problemi delle trasmissioni in Ponti Radio. Ha progettato la tratta radio in visibilità (LOS) più lunga al mondo: 360 km sopra il Mar Rosso, tra Sudan e Arabia Saudita. Ha contribuito alla normativa internazionale sui Ponti Radio (CCIR). Ha progettato i primi shelter a condizionamento passivo. Nel 2011 ha pubblicato "Analisi per adulti. Il senso della matematica oltre la regola della scimmia"

41 commenti

  1. Giuseppe Cipriani on

    Ce n’è per tutti…
    Lunga vita al meccanico (e, aggiungo, a chi sa potare le piante per farle fruttificare).
    Grazie per le boccate d’aria pura.

    • luigi mojoli on

      Grazie a te. Fa piacere essere apprezzati. Vedrò di non montarmi la testa.
      Ci pensò mia mamma a vaccinarmi. In tutta la sua vita mi fece un unico complimento:
      “Ma sì, in fondo anche tu hai fatto una buona azione nella vita…”
      Avevo 6 o 7 anni, una sola buona azione mi parve pochino, ma avevo tempo per recuperare. Ecco quale: “Sei nato settimino, mi hai risparmiato due mesi di rottura.”

      • 2 mesi di rottura non è poca roba!! Potrebbe essersi guadagnato un posto in paradiso e neanche saperlo..

        • luigi mojoli on

          Purtroppo io sono cattivissimo. Tanti anni fa sulla traversata Scerscen – Bernina arrivammo appena sotto la vetta troppo tardi, col caldo scaricava sassi e ghiaccio. Bivaccammo in parete. A notte lampi all’orizzonte ci fecero temere il peggio.
          Mio fratello esasperato mi supplicò: raccontami una barzelletta! Risposta: no, la penso ma non te la dico.

          • Livello di cattiveria 10 /10… però è necessario specificare chi ha contribuito nel ritardo, se fu suo fratello allora era doveroso fargli pesare la mancata vetta.. secondo il manuale dell’alpinista moderno lei potrebbe essere considerato eticamente santo..

      • Giuseppe Cipriani on

        Ringrazio Luigi anche per aver ricordato l’ing. Roberto Vacca, figura osteggiata dai poteri forti anche per il suo ateismo, ma sempre in grado di stimolare attenzione e di dar forza al pensare con la propria testa… Forse per l’età o forse per altro, è un po’ che non si fa vedere. Ne approfitto per salutarlo se mai si imbattesse in questi lidi.

        • “figura osteggiata dai poteri forti anche per il suo ateismo”!?!
          .
          Cos’è, la barzelletta che Mojoli non ha raccontato al fratello? 😀

          • stò cò frati e zappo l'orto on

            Mamma mia Giuseppe! L’Ingegner Vacca è “vissuto”per anni all’interno del Tubo Catodico .Non capivo mai niente di quello che diceva,ma come non portargli il più totale rispetto.
            La Tv di stato(anche in era democristiana(?) e certamente nell’ era berlusconiana lo ha tenuto come una reliquia.

          • stò cò frati e zappo l'orto on

            Strano comunque io avevo capito(dopo almeno 10 anni)che il pregiatissimo Ingegnere credesse in qualcosa!
            Ma non fateci caso sto rimbambendo sempre più.

          • stò cò frati e zappo l'orto on

            Si infatti non ha mai manifestato il suo possibile ateismo, semmai in modo soft.E non come una credenza da difendere a tutti i costi.Perdonatemi poi se nei confronti di voi matematici-fisici il mio rispetto per L’Ingegnere non è troppo elevato.
            Se parli al “popolo”devi tenere conto che anche i profani di possono ascoltare.
            Probabilmente impresa impossibile.Farsi capire.
            Se non da elevate menti.

  2. Giorgio Masiero on

    Io penso, Luigi, che ogni “teoria matematica” un obbligo ce l’ha: di essere “coerente” logicamente. Non può contenere il teorema A e anche il teorema non-A. Certo, nella geometria di Riemann i triangoli hanno la somma degli angoli maggiore di un piatto, mentre nella geometria di Lobacevskij la somma è minore di un piatto, ma sono due teorie matematiche diverse! Non sarebbe invece matematica, in quanto illogica, una teoria in cui coesistessero le due proposizioni A = ‘Somma degli angoli > 180°’, non-A = ‘Somma degli angoli < 180°'.
    Come si fa a stabilire la coerenza di una teoria matematica? Qui viene il bello, secondo me, della matematica!
    La risposta è: basandosi sulla coerenza dell'aritmetica e della geometria euclidea. Perché siamo certi, ad esempio, della coerenza della geometria di Lobacevskij? Perché esistono suoi modelli euclidei! Così il triangolo stretto di Lobacevskij ce lo vediamo nel triangolo curvilineo di una superficie nello spazio euclideo a 3 dimensioni, ecc.
    Alla base della matematica, di tutta l'episteme matematica, ci stanno quindi due rocce, saldissime: l'aritmetica di Pitagora (o di Peano) e la geometria di Euclide. Saldissime? come dimostri la loro coerenza?, mi potrebbe chiedere qualcuno. Non si può. Più indietro non si può andare. Ma, come dice Tommaso d'Aquino, se rinunci a crederci devi rinunciare a ragionare. Su qualsiasi cosa.
    La completezza invece, di una teoria matematica, o di qualsiasi teoria scientifica, è un sogno. Che lascio a Hilbert e agli scientisti di oggi, quelli della Teoria del Tutto.

    • luigi mojoli on

      Giorgio, mi ritieni davvero così ingenuo e rozzo da non capire che la coerenza interna non è interna a tutte le geometrie possibili contemporaneamente, ma solo a ciascuna di esse?
      Mi sono preso la licenza di riflettere su temi che hanno intrigato anche Galileo. E non solo su quelli. I lettori vorranno perdonarmi il tono scanzonato. Ma la vita ha già tanti lati tristi!
      Tempo fa un lettore, di fronte alla critica di due cattivi libri divulgativi, mi esortò a proporre anche buoni libri. Qui ne ho citati due, ottimi, dell’ing. Vacca. E poi ho citato un testo di Cantor, che divulgativo davvero non è, ma sommamente formativo: linguaggio chiarissimo, ma tema assai delicato. E questa è l’unica difficoltà che accetto, quella intrinseca nelle cose, non quella dei parolai che le aggrovigliano. Ma, si sa, io sono un rozzo metalmeccanico.

      • Giorgio Masiero on

        Assolutamente no, Luigi, io ti stimo molto più di quanto tu stimi te stesso. Solo che, a scanso di equivoci, col pensiero rivolto verso i lettori meno ferrati in matematica, ho ritenuto di bilanciare un po’ la tua divertente quanto dissacrante lezione di quest’arte!

  3. L’infinito attuale non esiste pure io sapevo cosi,anche perchè se tracciassi un segmento del tempo di vita non è che sarei infinitamente eterno perchè nè posso suddividere gli istanti in infiniti istanti per un tempo infinito,di qui la distinzione tra un astrazione e la proprietà di un corpo,non è necessario che l’astrazione su un ente ideale sia anche una proprietà di un corpo fisico.

    Si ma mori,dunque l’infinito attuale o fisico non “esiste “che che ne dica Sant’Agostino tu puoi anche suddividere all’infinito un tempo,ma questo stesso tempo è finito,che si possa dividere un finito in infinite parti è possibile come astrazione si,ma per questo è una proprietà fisica dei corpi?

    Proprio perchè l’arte mi sembra potrebbe equivocare un corpo ideale con un corpo fisico.

    Ma comunque chiedo spiegazioni (lumi?) su questo punto,”l’esistere” di un infinito fisico (o in atto).

    • luigi mojoli on

      Comincerei con studiare Cantor e scoprire che esistono in matematica infiniti attuali.
      Negati per millenni, finalmente trattati in modo consistente ed utile.
      Riguardo alla fisica, che sta sconfinando nella più astratta delle matematiche, non saprei.

      • Appunto è proprio questo il punto,ignorantemente so che ha dimostrato anche infiniti di ordini superiori (passami il termini da non addetto ai lavori) ma lo rileggerò,ma quello che mi stavo chiedendo se poi appunto “esistono” come astrazione coerente delle matematica o se oltre che nella matematica “esistono” come proprietà dei corpi fisici,cioè se puo sapere indubitabilmente se siano anche proprietà dei corpi fisici o se son circoscritti al campo puramente matematico.Comunque da quello che ho capito i matematici (da Cantor in giù)considerano l’ infinito attuale esistente anche come infinito fisico indipendentemente dall’idea coerente astrattiva che nè ho,e quindi mi chiedevo se Cantor ha dimostrato che oltre al campo matematico le sue dimostrazioni valgono anche come proprietà dei corpi fisici.

        • luigi mojoli on

          Credo che soffriamo ancora dell’ostracismo che Aristotele decretò per l’infinito attuale.
          Eppure, ben prima di Cantor, Cavalieri ne fece uso fecondissimo, e ben prima di Cavalieri, Archimede.
          Credo che avremmo vantaggio grande (io per primo) da buoni maestri di storia delle scienze.
          Per la matematica direi che S. Maracchia potrebbe aiutare.

    • viaNegativa on

      Riguardo al corporeo, l’esistenza dell’infinito in atto è in ultima analisi indecidibile: solo con sufficiente sicurezza, non con assoluto rigore, si può argomentarne la non esistenza, a partire dall’assunto che la quantità è sempre determinata e una quantità deteminata ha sempre un contorno, cosicché un corpo di dimensioni infinite (o un insieme infinito di corpi finiti) non avrebbe una configurazione determinata. Quindi un infinito corporeo in atto non esiste.

      Tuttavia si potrebbe sempre negare che la quantità debba essere (per necessità) determinatamente configurata per sua natura. Quindi un dubbio di fondo rimane ed è il motivo per cui anche Tommaso, nel commento alla Fisica presenta l’argomento come probabile e non assolutamente rigoroso.

      • luigi mojoli on

        Forse, tanto per non decollare verso l’empireo, mollando il modesto tema da me svolto, si potrebbe anche ricordare che non esiste la possibilità di una popolazione infinita su questa terra. Che poi tutto si aggiusti è matematicamente vero. Che in genere ciò avvenga a spese dei poveri è pure vero, ma la matematica non ha colpa. Infine sì, credo anche io che spesso si faccia carità pelosa. Peccato però che dai conti condivisibili o correggibili (se errati) si scappi sempre come dalla peste.

        • viaNegativa on

          Rispondeva proprio a me, Mojoli?

          Comunque, ne approfitto per una precisazione: ho parlato di infinito in atto, ma avrei dovuto dire attualmente infinito.
          Distinzione non da poco, giacché il primo (ciò che per Tommaso era l’infinito in actu) è una nozione che, quando non applicata all’ Ipsum Esse, è intrinsecamente contraddittoria (perché, in breve, è contraddittorio concepire l’attualizzazione completa di un infinito potenziale). Ciò che invece è attualmente infinito (=infinitus actu – secundum quid) come la nozione di un ente fisico o matematico determinato (es. un corpo) è del tutto compatibile con una sua infinità attuale relativa (es, l’infinità della dimensione del corpo). In questo ultimo senso, la nozione tommasiana di infinito sendum quid, coincide totalmente con la definizione cantoriana del transfinito come infinità determinata, ma incrementabile (in quanto contrapposta alla definizione cantoriana dell’infinità attuale di Dio, come infinità assoluta e non incrementabile).

          Quello che infatti andrebbe detto, è che Tommaso corregge, ampliandola, la dottrina aristotelica che conosce solo due tipi di infinito. Se Cantor avesse conosciuto un poco meglio il pensiero dell’Angelico (e questo purtroppo vale anche per i suoi interlocutori teologi…) avrebbe capito che non ci sarebbe stato alcun bisogno di opporsi alla dottrina scolastico-tomistica sull’infinità attuale, come invece pensò di dover fare.

  4. Giorgio Masiero on

    M’inserisco sulla questione, posta da Dan, se nel mondo reale possano esistere insiemi con un numero infinito di elementi. Come bene spiegato da Mojoli, è un risultato acquisito (da G. Cantor) 1) che essi esistono in matematica, senza alcuna contraddizione logica, e, stupefacentemente, 2) non sono tutti equivalenti per quantità di elementi, ma alcuni hanno “più” elementi di altri. Questi insiemi infiniti si ordinano così in una scala d’infiniti gradini, con un gradino più basso (dove si trovano gli interi in compagnia d’infiniti altri insiemi equivalenti), un secondo gradino (dove si trovano i numeri reali ed i complessi con infiniti altri), ecc., ecc.
    Solo per completezza, aggiungo che Cantor svolse una riflessione ulteriore sull’infinito, integrando una terza modalità che richiama il pensiero tomistico piuttosto che la secca dicotomia aristotelica tra infinito potenziale e infinito attuale: egli mostrò l’esistenza di un infinito attuale assoluto determinato non incrementabile. Questo concetto non appartiene però alla matematica, ma può predicarsi solo di una nozione di Dio appartenente alla metafisica.
    Tornando al problema se una struttura aggregata fisica possa contenere un infinito attuale di elementi, è notevole che il più grande matematico del ´900, David Hilbert, colui che pronunciò la famosa frase “Nessuno più ci caccerà dal Paradiso che Cantor ha creato per noi”, abbia per via meta-matematica risposto con un No: non possono esistere insiemi infiniti attuali fisici. Nelle parole di Hilbert il veto suona: “Abbiamo dimostrato così che nella realtà non si trova l’infinito in nessun luogo, qualsiasi sia l’osservazione o l’esperienza che facciamo. […] Il nostro principale risultato è che l’infinito attuale non può esistere nel mondo reale, è un’illusione” (D. Hilbert, On the infinite, in “Philosophy of Mathematics” – 1964. Edited by Paul Benacerraf and Hilary Putnam. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall). Al limite, posto dal logico-matematico Hilbert, per il numero delle particelle dell’universo, il fisico A. Eddington s’incaricò di dare un valore, il numero che porta il suo nome.

    • luigi mojoli on

      Non mi pare affatto OT. La concretezza e lo spirito critico di R. Vacca sono preziosi in se stessi e ottimo insegnamento per tutti. Mi fa piacere che tu (posso?) lo abbia segnalato. Incidentalmente: fa sempre piacere l’apertura mentale e morale per cui non si cassa a priori tutto il lavoro di una persona perché è ateo o viceversa perché è credente. Tra l’altro sì, Vacca si è dichiarato ateo, ma sobriamente, e rispettoso di chi non la pensa come lui. L’esatto contrario di Odifreddi, come è stato fatto osservare. Lo sanno tutti, ma mi piace ricordare che Cantor era profondamente religioso.

      • Mi permetto semplicemente un appunto al prof. (se lui e’ un metalmeccanico, io sono un garzone che gli porge gli strumenti):
        per quanto rispetti l’ing. Vacca, e ne abbia apprezzato in passato le doti di divulgatore e anche come professore che spiegava i logaritmi su una lavagna trasparente scrivendo al contrario, non e’ del tutto vero che “rispettoso di chi non la pensa come lui.”
        Ricordo una intemerata discussione, non ricordo se insieme ad Odifreddi, su approssimati calcoli sul numero di miracolati a Lourdes…

    • Condivido molto le riflessioni di Vacca sull’AGW e trovo molto professionale l’ampia analisi da lui fatta.
      Tirare in ballo l’ateismo per parlare di lui è davvero gratuito, significa proprio essere fissati. Se volessimo trovare un motivo per un’eventuale boicottaggio nei suoi confronti (ma chi dice che ci sia stato?) cercherei proprio nello scetticismo sull’AGW.
      Il confronto con Odifreddi, al quale i “poteri forti” non hanno creato alcun problema mi sembra che chiuda il discorso.

      • Giuseppe Cipriani on

        Do atto a Enzo di aver scovato un mio pregiudizio, un moto istintivo che mi ha fatto scrivere che l’ing. Vacca è stato osteggiato dai poteri forti (anche) per il suo ateismo…
        .
        In realtà l’ing. Vacca è sempre stato contro i poteri forti, ma si è sempre fatto rispettare non subendo pregiudizi per la sua carriera di matematico, uomo impegnato sul fronte dei diritti civili e delle libertà di espressione, compresa quella di non credente che ha portato avanti sempre con rispetto, anche se non sempre giudicato benevolmente…
        .
        Chiedo scusa per l’incauto scrivere, per il procurato allarme.

        • Mea culpa ! Su Vacca avevo parlato male io qui, forse partendo dal suo primo libro di successo “Medio Evo prossimo venturo”. Libro con fosche previsioni sul nostro futuro, ma sbagliato già nel titolo, almeno per come la penso io, ossia, si dovrebbe conoscere meglio il Medio Evo prima di parlarne come la peggiore epoca della storia. In particolare se si ama la scienza, altrimenti si tradisce la solita conformista adesione alla storiografia illuminista che ha deformato in modo negativo quest’epoca storica per tanti versi “luminosa”.
          Mi sono rimaste impresse negativamente anche alcune uscite del Vacca sulla Tv pubblica, diciamo una specie di Odifreddi ante-litteram. Me ne ricordo una contro S. Pio da Pietrelcina dove chiedeva cosa avesse mai fatto quest’uomo di utile per gli altri (il discorso era quello tipico comtiano-positivista dei giorni del calendario con gli uomini di scienza al posto dei santi…). Beh, l’avversione verso la religione gli ha proprio giocato un brutto scherzo, perché tra tutti i santi meditativi che poteva citare per criticarne l’inutilità per il mondo, è andato a prenderne uno che ha fondato l’Ospedale modello “Sollievo della Sofferenza”, tuttora una delle poche eccellenze nel profondo Sud, dove lo Stato laico subisce un fallimento dietro l’altro.

          • stò cò frati e zappo l'orto on

            Infatti il Sollievo della Sofferenza è stato costruito con il contributo dei fedeli.
            Mentre lo statalissimo 8 per mille viene utilizzato(tutto)per sostenere veri e falsissimi “profughi”.In parte linfa vitale e “sostituti”del grandissimo calo della pratica cattolica(compresa recentemente anche un calo delle vocazioni)nonostante le 24 ore al giorno della presenza TV e Media del Nostro Pope.

        • stò cò frati e zappo l'orto on

          Gli atei “diplomatici”negli ultimi 40 anni hanno avuto ed hanno un immenso spazio.
          Oddifreddi è troppo contro la Chiesa per rimanere nella vetrina da decine di milioni che è la tv.
          Vacca ha avuto tantissimo spazio,poi l’età…..
          La Family Angela domina incontrastata lo schermo(che siano bravi neppure io lo metto in dubbio).
          C.Paone piace da morire a mediaset ecc.ecc.
          Che dici mi carissimo amico,non ci facciamo mancar niente,non ti preoccupare SIAMO ITALIANI!

          • Giuseppe Cipriani on

            Dico, Sto’, che fin che al mondo ci saranno persone che sanno mediare/dialogare in ogni evenienza e con cuore puro saremo a posto. E non ci sarà potere, dittatura, inganno, stravaganza estrema o lontananza di ideologia che ci potrà traviare.

          • stò cò frati e zappo l'orto on

            Come te.Gente Onesta come te che ammette quando ha commesso qualche errore(sempre piccoli secondo me).
            Fiero di conoscerti…..e di dire sempre quello che penso.

  5. Volevo condividere con voi questa definizione di congettura di Nicola Cusano che ho trovato su Wikipedia:

    La congettura, per Cusano è l’espressione della ragione dell’uomo che coglie Dio in modo incompleto, dacché Dio è infinito. Questo sviluppo della congettura cusana sostituisce il concetto della filosofia greca, portato a cogliere l’Essere necessario, cioè quell’Essere che è e non può non essere. Per Cusano, noi cogliamo l’Essere di Dio da un particolare punto di vista. In Cusano non è possibile cogliere il concetto, infatti, si possono avere solo congetture. La congettura è l’unica conoscenza umana possibile, ma tuttavia è sempre sbagliata a causa della sua indefinita parzialità; comunque, nonostante le congetture siano sempre sbagliate, sono nobili, e bisogna congetturare perché la verità non sta nelle varie ed infinite congetture che l’uomo può fare, ma sta nella stessa tendenza alla Verità infinita e pura, che nell’uomo si traduce poi necessariamente in qualche congettura. Quindi la verità non è nella congettura, ma nella tendenza alla verità che è stata causa di tale congettura.

    https://it.wikipedia.org/wiki/Nicola_Cusano

    Vi trovate d’accordo con questa definizione?

    • Mi pare sia proprio per questo motivo che si rende necessario il coinvolgimento di Dio nella storia umana: “Dio si fa uomo affinché l’uomo si faccia Dio” S. Gregorio Nazianzeno.
      .
      Un essere finito non può arrivare all’infinito a meno che non sia quest’ultimo a colmare la distanza.
      .
      E’ la differenza con tutte le altre religioni, filosofie etc. etc.

    • luigi mojoli on

      Si può anche convenire. Oppure no. Il discorso è interessante. Magari si potesse incontrare un Nicola Cusano una volta all’anno. Ma torno all’inganno delle parole.
      In matematica una congettura può essere vera o falsa: al momento pare ragionevole e non è stata ancora smentita da un controesempio, ma non è stata ancora dimostrata, non è diventata un teorema. Perciò, pur ascoltando tutti e cercando di capire tutti, sono sempre sulle spine quando si cambia ambito senza un punto e a capo. O meglio ancora: un voltar pagina e precisare il nuovo titolo. E’ un limite mio, naturalmente.

  6. luigi mojoli on

    Bello incontrare persone intelligenti. E Cusano lo era. Ma dimenticavo rischi e pericoli.
    Incontrare Cusano da imputati di stregoneria è rischio mortale.

    • … sicuramente si riferisce al processo dove fu condannato a morte Álvaro de Luna. Storia molto controversa. Álvaro de Luna era il preferito del re Giovanni II di Castiglia … qualcuno sostiene che ci fosse una relazione omosessuale tra i due. L’accusa è quella di stregoneria … ovvero aver controllato la mente del re. Personalmente mi sovviene il sospetto che la regina Isabella di Portogallo, moglie di Giovanni II, non abbia mai accettato questa relazione. Infatti alcune fonti parlano di tradimento e non stregoneria.

  7. Quella sulla terminologia, sugli “inganni delle parole”, fu proprio una delle battaglie combattute da René Guénon.
    Nel suo “Les principes du calcul infinitésimal” (1946) introduce la distinzione fondamentale tra “infinito” — termine che ha a che fare escusivamente con la Metafisica — e “indefinito” — termine che ha invece a che fare con la “Fisica” e che è preso correntemente come sinonimo del primo.
    Questa distinzione illuminante (che è inserita armoniosamente nella sua esposizione della Metafisica) mi pare in grado di sgombrare il campo da un malinteso che è una delle cifre dell’Occidente.
    E soprattutto ricondurre la matematica alle sue potenzialità di scienza sacra.
    (Grazie per l’ospitalità)

    • luigi mojoli on

      Mi fa piacere questo ritorno al punto di partenza che era (o voleva essere) duplice: a) Le parole ingannano e b) Ci sono conflitti inevitabili tra fisica e matematica. Non conosco Guénon e penso che non perderò la buona occasione di dirozzarmi (moderatamente eh, sono vecchio!). Mi sta bene “indefinito” per cose fisiche che posso immaginare più grandi di limiti oggi stimabili. Mi pare invece, sempre definendo esattamente quel che si intende, che “infinito” abbia una sua lecitissima cittadinanza in matematica e non solo nella sistemazione di Cantor, ma anche nella suo “semplice” e preciso uso: limite infinito di f(x) per x tendente a xo finito o per x tendente a infinito, somma di una serie (limite di tutte le somme integrali Sn per n tendente ad infinito), definizione stessa di integrale, troppo lunga per ricordarla qui, ecc. Forse “infinito” in metafisica ha altro significato ancora, e mi pare che ciò sarebbe assolutamente giustificato dal contesto diverso. E con diversa definizione. E’ curioso che l’ingegno umano abbia generato più concetti distinti che parole distinte. Per intendersi occorre tanta pazienza, tanta umiltà, tanto lavoro.

      • viaNegativa on

        “E’ curioso che l’ingegno umano abbia generato più concetti distinti che parole distinte”

        È anche una necessità di economia del linguaggio il quale non potrebbe moltiplicare i termini – in corrispondenza di tutte le possibili sfumature di significato – all’infinito (!)

    • Giorgio Masiero on

      Cosa intende, Stefano, quando chiama la matematica “scienza sacra”? Non capisco. Grazie.